Reklam
Teknoloji Haberleri

Fraktalların Geometrisi ile Kısmi Senkronizasyon Dinamiği Arasında Yeni Bir Köprü

reklam
Reklam


Mandelbrot Fraktal

Matematikte, basit denklemler zaman içinde karmaşık bir evrim ve uzayda ilgi çekici modeller oluşturabilir. Bunun ünlü bir örneği, adını en çok çalışılan fraktal olan Polonya kökenli Fransız-Amerikalı matematikçi Benoit B. Mandelbrot’tan (1924-2010) alan Mandelbrot kümesidir. Bu küme, yalnızca bir parametre ve bir değişken içeren tek bir ikinci dereceden denkleme dayanmaktadır. Mandelbrot kümesinin büyüleyici fraktal desenleri, matematiğin çok ötesinde dikkat çekmiştir.

reklam

Ralph Andrzejak’ın “Karmaşık düzlemde fraktal sınırlarla sınırlandırılmış Chimeras” başlıklı bir makalesi, derginin özel bir sayısının bir parçasını oluşturuyor. Kaos 3 Mayıs 2021’de yayınlanan Rus profesör Vadim S. Anishchenko’nun (1943-2020) anısına. Andrzejak, UPF Bilgi ve İletişim Teknolojileri Departmanında (DTIC) Doğrusal Olmayan Zaman Serileri Analiz Grubunun başkanıdır. Çalışma, Mandelbrot setini dört ikinci dereceden denklem için genelleştirir. Aşağıda gösterilen şekil, bu yaklaşımla oluşturulan modellerin bir örneğidir.

Dört Kuadratik Denklemden Oluşan Fraktal Modeller

reklam

Dört ikinci dereceden denklem seti tarafından üretilen fraktal desenler. Gri renkler sonsuza sapmayı gösterir. Gri olmayan renkler, farklı senkronizasyon durumlarını kodlar. Kredi bilgileri: UPF

Birçok büyüklük mertebesinde bir yolculuk

Andrzejak, yazarın aşağıdaki resimde gösterdiği gibi, “giderek daha küçük ayrıntılara yaklaştığımızda fraktal modellerin karmaşıklığının görülebildiğini” belirtiyor. Resmi, “küresel olarak, figürün sol üst panelinde gösterilen desen Mandelbrot’un klasik setini andırıyor. Ancak detayları incelediğimizde Mandelbrot setinde bulunmayan kalıpları görebiliriz. Bu detayları daha iyi görebilmek için bir sonraki paneli oluşturmak için kareyi büyütüyoruz.”

Fraktal Modellerde Yinelemeli Yakınlaştırma

“Fractal desenlerde yinelemeli yakınlaştırma. Sonraki paneller soldan sağa ve yukarıdan aşağıya karşılık gelen önceki panellerin karelerini büyütür. Yukarıdaki ilk şekil, burada büyütmede beşinci adım olarak tekrar görünür. Kredi bilgileri: UPF

Yazar, bu modellerin gerçekten de birçok büyüklük düzeyinde olduğunu vurgulamak için bir karşılaştırma kullanır. “Görüntüyü oluşturan on iki panele uygulanan yakınlaştırmanın, bir atomu bir SUV arabası boyutunda patlatmaya tekabül ettiğini” belirtiyor. “Görüntünün boyutunu büyüterek yakınlaştırdıkça, estetik açıdan ilgi çekici çok çeşitli formlar ve şekiller olduğunu görüyoruz. Keşfettiğimiz desenler daha az incelikli ve daha az düzenli görünebilir, ancak Mandelbrot setinde bulunanlardan daha çeşitli olabilir.”

Fraktalların etkileşimi ve senkronizasyon

Ancak Andrzejak’ın önerisine yaklaşmak için fraktal modellerden daha fazlası var. Yazar bir yerine dört denklem kullandığından, bu fraktal desenler içinde senkronizasyonu da inceleyebildi. Bunu nasıl anlayabiliriz? Andrzejak, “Mandelbrot kümesi, tek parametreli ve tek değişkenli bir denkleme dayanmaktadır. Bu değişkeni büyük bir yuvarlak masanın yüzeyinde hareket eden küçük bir top olarak düşünebiliriz. Bu topa ne olacağı denklemin parametresine bağlıdır. Bu parametrenin bazı değerleri için top hareket eder ve her zaman masadadır. Topun masada kaldığı tüm bu parametre değerleri kümesi Mandelbrot kümesini tanımlayan şeydir. Aksine, kalan parametre değerleri için, top belirli bir zamanda masadan düşer.”

“Kısmi senkronizasyonun temel mekanizmalarını çok basit modellerde incelersek, bu onun nasıl kurulduğunu ve insan beyni gibi karmaşık sistemlerde nasıl sabit tutulabileceğini anlamamıza yardımcı olabilir.”

Andrzejak sözlerine şöyle devam ediyor: “Kullandığımız dört denklemin sadece bir değil, masa yüzeyindeki dört topun hareketini tanımladığı düşünülebilir. Denklemler birbirine bağlı olduğu için toplar serbestçe hareket edemez. Ancak birbirlerini çekerler, tıpkı güneş gibi, Dünya ve ay da yerçekimi yoluyla birbirlerini çekerler.” Araştırmacı, “bu çekiciliğin bir sonucu olarak, dört topun çeşitli senkronizasyon biçimleri gösterebileceğini ekliyor. İki uç nokta şunlardır: Dört top birlikte aynı yollar boyunca hareket eder veya her top kendi yolunu izler. Andrzejak daha sonra “en önemlisi, bu aşırılıkların ötesinde, sözde kısmi senkronizasyonu bulmaktır. Örneğin, iki top birlikte senkronize hareket edebilirken, diğer iki top bu hareketten senkronize olmadan kalır. Bu kısmi senkronizasyon durumuna kimera durumu denir”, bu nedenle makalenin başlığı.

Gerçek dünyanın dinamikleri için büyük önem taşıyan bir konu

Andrzejak, söz konusu matematiksel modelin gerçek dünyanın dinamikleriyle ilgili olup olamayacağını kendimize sorarsak, “Evet. Kesinlikle. En iyi örnek beyindir. Tüm nöronlarımız senkronize olmuş veya senkronizasyondan çıkmış olsaydı, beynimiz artık işini yapamazdı. Beynimiz ancak bazı nöronlar senkronize olurken, diğer nöronlar senkronize olmadığında düzgün çalışabilir. Beynin düzgün çalışması için kısmi senkronizasyon şarttır.” Yazar bunu eseriyle ilişkilendiriyor: “Çok basit bir modelde kısmi senkronizasyonun nasıl kurulabileceğini gösteriyoruz ve ayrıca bu kısmi senkronizasyonun tam senkronizasyon ve senkronizasyonsuzlaştırma yoluyla fraktal sınırlar içinde nasıl sınırlandırıldığını gösteriyoruz.” Yazar şu sonuca varıyor: “Kısmi senkronizasyonun temel mekanizmalarını çok basit modellerde incelersek, bu onun nasıl kurulduğunu ve insan beyni gibi karmaşık sistemlerde nasıl sabit tutulabileceğini anlamamıza yardımcı olabilir”

Referans: “Karmaşık düzlemde fraktal sınırlarla sınırlandırılmış kimeralar”, Ralph G. Andrzejak, 3 Mayıs 2021, Kaos.
DOI: 10.1063/5.0049631




scitechdaily.com

Source link

reklam
reklamm

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

reklam
Başa dön tuşu

Reklam Engelleyici Algılandı

Lütfen Reklam Engelleyiciyi Kapatınız